Devoir commun MATH - PHYSIQUE Terminale S

jeudi 13 avril 2006
par  Karim Tahir
popularité : 7%

Nous avons proposé ce devoir commun Math - Physique aux 3 Terminales S du Lycée Dautry. Il était à faire en binôme et à la maison.Certains élèves ont été décontenancés par cette approche bidisciplinaire, d’autres nous ont rendu de très bonnes copies. La version Word est jointe sous le nom Devoir TS math-physique site académique.

La radioactivité naturelle et le radon

texte
A- Les sources d’exposition de l’homme à la radioactivité sont de deux ordres : interne et externe.
Sur le plan interne, le corps humain présente une radioactivité naturelle (de l’ordre 8 kBq pour un adulte de 70 kg) due principalement aux atomes de potassium 40 (4,5 kBq) qui se transmutent en calcium 40 et de carbone 14 (3,7 kBq) qui se transmutent en azote 14. Les rayonnements émis sortent peu du corps humain, ils sont absorbés par les tissus.
Issu de la désintégration de l’uranium et du radium présents dans la croûte terrestre, le radon est la principale source externe d’exposition de l’homme à la radioactivité naturelle. De numéro atomique , le radon est un élément chimique de la colonne des gaz rares dans la classification périodique. Découvert en 1900 par Dom, puis isolé en 1908 par Gray et Ramsay, c’est un gaz inerte, incolore et inodore. Le radon 119, le radon 220 et le radon 222 en sont les trois principaux isotopes.

B- Le Radon 220
Le radon, de numéro atomique , est un gaz incolore, inodore et chimiquement inerte. L’isotope 220 (étudié ici), issu de la famille du thorium 232, provient de la désintégration du radium 224 par émission d’une particule a (voir famille du thorium en annexe).

Le radon 220 se désintègre ainsi en éléments radioactifs dont certains sont solides. Inhalés avec l’air respiré, ces solides se déposent dans les poumons. Des études épidémiologiques menées sur des populations de travailleurs dans les mines d’uranium (la famille de l’uranium donne du Rn 222), et aussi de personnes ayant respiré du radon à forte dose, ont montré que le radon, par ses descendants émetteurs a de courtes demi-vies, accroît les risques de cancer du poumon chez ces personnes.

L’exposition moyenne de la population varie selon les départements. Les sols granitiques comme en Limousin libèrent en effet plus de radon que les terrains sédimentaires .
Pour diminuer les concentrations de radon dans les habitations, une première solution consiste à aérer et ventiler celles-ci. Il est aussi nécessaire d’améliorer l’étanchéité des murs et des planchers car le radon, présent dans le sous-sol, surtout s’il est granitique ou volcanique, diffuse par les fissures et les fractures du sol et s’accumule dans les espaces clos. Ainsi, l’Union européenne préconise la mise en œuvre d’actions correctives lorsque la concentration moyenne annuelle en radon dans un bâtiment est telle que le nombre de désintégrations par seconde rapporté à l’unité de volume dépasse 400 . En France, on observe une grande variabilité des taux mesurés : en moyenne, de 22 à Paris à plus de 250 en Lozère ou en Limousin. Pour l’ensemble du territoire, la moyenne des mesures était, en janvier 1997, de 66 .

NB - En France, le cancer du poumon est responsable de 22 000 décès par an, essentiellement du fait du tabagisme. La consommation d’un paquet de cigarettes par jour pendant toute une vie multiplie le risque du cancer du poumon par un facteur d’environ 10 à 20. Cette augmentation du risque correspond par comparaison à vivre toute sa vie dans une atmosphère contenant environ 3 000 (source IRSN).

Problème

Dans la chaîne ci-dessus, on étudie le maillon impliquant le Radon Rn 220, le Polonium Po 216 et le Pb 212. On a ainsi 2 désintégrations successives et l’on cherche à modéliser l’évolution des nombres de noyaux de chaque espèce puis répondre à une question : la formation des noyaux de plomb dépend-elle des autres ?
On se propose ainsi d’étudier comment évoluent les populations de ces 3 types de noyaux en partant d’un nombre NRn(0) = 100. (Vous avez 2 annexes et le texte à disposition)

1-Etude préliminaire des désintégrations
On a les désintégrations suivantes Rn → Po puis Po→ Pb.
a) Donner les constantes radioactives respectives l1 et l2.
b) Ecrire les équations de ces 2 désintégrations.
c) Quelle est l’origine du mot Polonium ?

2- Etude des 3 lois de décroissance correspondantes.
a) Donner la relation existante entre dNRn/dt , λ1 et NRn .
b) En déduire sa solution en écrivant la loi de décroissance radioactive correspondante, soit NRn(t).
c) Pour le Polonium, on a l’expression suivante : dNPo/dt = -λ2.NPo + λ1.NRn. (1)
Que représentent les deux termes de cette expression ? Expliciter en particulier leur signe.
d) Vérifier qu’une solution de cette équation différentielle (1) est :
NPo(t) = NRn(0.).(λ1/ λ2 - λ1)[e-λ1t- e-λ2t]
e) En utilisant l’équation de la conservation de la matière NRn(0) = NRn(t) + NPo(t) + NPb(t), déduire l’expression de NPb(t).

3- Simplifications des solutions
On cherche à simplifier ces expressions en faisant des approximations.
A-Le Polonium
a) Calculer le rapport des 2 constantes radioactives. Ainsi si λ1<λ2/100, donner en fonction de λ2 une expression approchée à 10-2 près de λ2 - λ1 ?
b) En déduire une nouvelle expression approchée de NPo(t) ?
c) Soit f la fonction définie sur R+ par f(t) = e-λ2t / e-λ1t . A partir de quel instant to a-t-on f(t)<1/100 ?

d) Dans la suite, on négligera les termes inférieurs à 1/100. Montrer alors qu’à partir de to, on peut écrire la loi de décroissance du Polonium : NPo(t) = (λ1/ λ2 ) NRn(t).
Comparer la quantité de Polonium par rapport à celle de Radon . Est-ce en accord avec le graphe correspondant ?

B- Le plomb
a) Montrer en utilisant des approximations que NPb(t) = NRn(0). [1- e-λ1t]
b) De quelle constante dépend l’expression de NPb(t) ? Conclure.

Conclusion 1 : La désintégration associée à cette constante λ1 est dite limitante dans la chaîne étudiée, on dit qu’elle contrôle la vitesse de la chaîne. Ce résultat est généralisable à la cinétique chimique et à tout phénomène en chaîne.

4- Représentations graphiques de ces solutions
A- En annexe 2 est représentée l’évolution des nombres de noyaux en fonction du temps.
La tangente à l’origine coupe l’axe des abscisses en un temps τ, constante de temps caractéristique.
a) Au temps t = 0, montrer que l’équation de cette droite s’écrit NRn(t) = NRn(0).(1- λ1.t).
b) Donner la constante de temps τ en fonction de λ1. Calculer alors sa valeur. (vérifier sur la courbe)

B- Un changement d’échelle
a) La courbe représentant NPo(t) n’est pas visible avec cette échelle. En prenant pour nouvelle échelle : ordonnée 1 cm pour 0,1 noyau ; abscisse 1 cm pour 0,5 s , la représenter sur une feuille de papier millimétré jusqu’à t = 10s.
b) Comment ce nombre de noyaux semble-t-il évoluer ?
c) NPo(t) = NRn(0).(λ1/ λ2 - λ1)[e-λ1t- e-λ2t] . Ce nombre est maximal pour un temps dit "temps d’induction tI". Calculer sa valeur et la vérifier graphiquement.

Conclusion 2 : le polonium est une espèce qui se forme difficilement par la désintégration 1 et est consommée rapidement par la désintégration 2 . Ceci n’est valable que si λ1<<λ2 .
Après un temps dit "temps d’induction", N(Po) est pratiquement constant : par approximation, on pourra considérer sa valeur comme quasi stationnaires (approximation très utilisée en sciences physiques).

ANNEXE 1 Le thorium 232 et ses descendants : document issu des documents d’accompagnement du programme de TS.( comme une partie du texte d’introduction)
Voir pièce jointe Devoir M-P

ANNEXE 2
Evolution des nombres de noyaux au cours du temps
Voir fichier regressi joint.


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devoir TS math physique site académique
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annexe 2

Documents joints

annexe 2
annexe 2
devoir TS math physique site académique
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